La teoria dei giochi a somma zero per due giocatori modella situazioni in cui il guadagno di un partecipante corrisponde esattamente alla perdita dell’altro. In questi scenari, le risorse disponibili e le ricompense sono fisse: le scelte dei giocatori non aumentano il totale delle risorse e, se un giocatore vince, l’altro perde necessariamente.

Ecco i concetti fondamentali per comprendere questo modello:

1. La Funzione di Payoff e la Matrice

In un gioco a somma zero, il risultato è rappresentato da una funzione di payoff. Se il Giocatore 1 sceglie una strategia $s1$ e il Giocatore 2 sceglie $s2$, il Giocatore 1 riceve un valore $f(s1, s2)$, mentre il Giocatore 2 riceve l’esatto opposto, ovvero $-f(s1, s2)$.
Un modo comune per descrivere questi giochi è la matrice dei payoff, dove ogni riga corrisponde a una strategia del Giocatore 1 (giocatore di riga) e ogni colonna a una del Giocatore 2 (giocatore di colonna). L’obiettivo del primo è massimizzare il valore, mentre il secondo punta a minimizzarlo.

2. Strategie Pure: Maximin e Minimax

I giocatori cercano di determinare la propria strategia ottimale seguendo logiche precauzionali:

• Strategia Maximin: Il giocatore di riga cerca di massimizzare il proprio payoff minimo garantito, indipendentemente dalle mosse dell’avversario.
• Strategia Minimax: Il giocatore di colonna cerca di minimizzare il massimo payoff che l’avversario potrebbe ottenere.

Quando il valore del limite inferiore (maximin) e quello del limite superiore (minimax) coincidono, si parla di punto di sella o equilibrio di Nash puro. In questa situazione, nessuno dei due giocatori ha interesse a cambiare la propria strategia.

3. Strategie Miste

In molti casi, non esiste un punto di equilibrio tra strategie pure. In queste situazioni, i giocatori adottano strategie miste, assegnando una probabilità a ciascuna delle proprie mosse (ad esempio, decidendo quale riga scegliere tramite il lancio di una moneta).
Un risultato matematico fondamentale afferma che, nei giochi a somma zero per due persone, il payoff massimo che un giocatore può garantire scegliendo una strategia casuale è uguale al payoff minimo che l’avversario può garantirgli. Questo punto di incontro è definito equilibrio di Nash misto.

4. Esempi nei Giochi da Tavolo

Molti dei classici giochi di strategia astratta appartengono a questa categoria:

• Go: È classificato formalmente come un gioco deterministico a somma zero e a informazione perfetta.
• Scacchi, Dama e Reversi: Condividono la stessa classificazione teorica, dove la vittoria di uno è la sconfitta dell’altro e non vi è spazio per la cooperazione.

A differenza dei giochi cooperativi (come Pandemic o Spirit Island), dove i giocatori si uniscono contro il sistema di gioco per un obiettivo comune, i giochi a somma zero sono puramente competitivi.